| 關鍵字 |
說明 |
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| 斜率的定義 |
假設平面上的兩點 \(A({x_0},{y_0})\) ， 點 \(B({x_1},{y_1})\) ，
則兩點之斜率(slope)習慣以 \(m\) 表示 \(m = \frac{{{y_1} - {y_0}}}{{{x_1} - {x_0}}}\) |
| 導函數的定義 |
\(f'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}}\) 稱為 \(f(x)\) 的導函數，也稱為微分，若此極限存在，則稱 \(f\) 在 \(x\) 可微分， \(f'\) 唸 \(f\)–prime ，是非常簡便的符號。 |
| 可微分 |
導函數的定義 \(f'(x) =\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}}\) 以極限值來呈現，若函數 \(f\) 在點 \(x = a\) 之左導數 = 右導數，
則稱函數 \(f\) 在 \(x = a\) 可微分。 |
| 可微分與連續性 |
(1)可微分 "一定" 連續。
(2)連續 "不一定" 可微分。 |
| 多項式的導函數延伸 |
遇到多項式的根式 (平方根、立方根) 或 (分式) 倒數，只要依據指數律原則改寫如
(1) \(\sqrt x = {x^{\frac{1}{2}}},\quad\sqrt[3]{x} = {x^{\frac{1}{3}}}\quad \cdots \) 依此類推。
(2) \(\frac{1}{x} = {x^{ - 1}},\quad \frac{1}{{{x^2}}} = {x^{ - 2}}\quad \cdots\) 依此類推。
再使用多項式導函數之公式即可求出導函數。 |
| 基本微分公式 |
1.加減法法則
2.常數乘函數法則 |
| 加減法法則 |
\({\left( {f(x) \pm g(x)} \right)^\prime } = f'(x) \pm g'(x)\)
兩個函數加減後再微分 = 各自微分後再加減。 |
| 常數乘函數法則 |
\({\left( {k \cdot f(x)} \right)^\prime } = k \cdot f'(x)\)
常數在微分運算中可以自
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| 進階微分公式 |
1.乘法法則
2.除法法則
3.連鎖率 |
| 乘法法則 |
\({\left( {f(x) \cdot g(x)} \right)^\prime } = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\) |
| 除法法則 |
\({\left( {\frac{{f(x)}}{{g(x)}}} \right)^\prime } = \frac{{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}}{{{g^2}(x)}}\) |
| 連鎖率 |
\({\left[ {f(g(x))} \right]^\prime } = f'(g(x)) \cdot g'(x)\) |
| 合成函數的導函數 |
\({\left[ {f(g(x))} \right]^\prime } = f'(g(x)) \cdot g'(x)\) |
