| 關鍵字 |
說明 |
|
| 直觀的連續函數 |
在介紹函數的微分前，一定要先考慮函數的連續性，因為函數若不連續，函數就不可微分。以最簡單的想法在紙上用筆畫出函數圖形，筆不離開紙面，劃出的圖形沒有斷點。 |
| 連續函數的定義 |
若函數 \(y = f(x)\) 能夠滿足 \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)\) 則稱 \(y = f(x)\) 在 \(x = a\) 連續。
上式的左式為極限值，極限值須存在，也就是 "左極限" 須等於 "右極限" 。
上式的右式為函數值，須要有定義綜合以上條件：
\(y = f(x)\) 在 \(x = a\) 連續，\(\lim\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = \lim\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a)\) 三式相等，缺一不可。 |
| 函數在開區間連續 |
若函數 \(y = f(x)\) 在開區間 \((\;a\;,\;b\;)\) 中的每一點均連續，
則稱 \(y = f(x)\) 在開區間 \((\;a\;,\;b\;)\) 連續。 |
| 函數在閉區間連續 |
若函數 \(y = f(x)\) 在閉區間 \([\;a\;,\;b\;]\) 連續，須滿足下列三條件：(1) \(y = f(x)\) 在開區間 \((\;a\;,\;b\;)\) 連續 (2) \(\lim\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a)\) (點 \(a\) 滿足右連續
(3) \(\lim\limits_{x \to {b^ - }} f(x) = f(b)\) (點 \(b\) 滿足左連續) |
| 連續函數的加減法 |
若 \(f(x)\) 與 \(g(x)\) 均在 \(x = a\) 點連續， \(c\) 為常數
\(f(x) \pm g(x)\) 也在 \(x = a\) 點連續
|
| 連續函數的乘法 |
若 \(f(x)\) 與 \(g(x)\) 均在 \(x = a\) 點連續， \(c\) 為常數，\(f(x)g(x)\) 在 \(x = a\) 點連續 |
| 連續函數的除法 |
若 \(f(x)\) 與 \(g(x)\) 均在 \(x = a\) 點連續， \(c\) 為常數，\(\frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) 在 \(x = a\) 點連續 \((g(a) \ne 0)\) |
| 連續函數的數字乘法 |
若 \(f(x)\) 與 \(g(x)\) 均在 \(x = a\) 點連續， \(c\) 為常數，\(c\,f(x)\) 在 \(x = a\) 點連續 |
| 常見的連續函數 |
下列各種函數在各自的定義域內均為連續函數
1. 多項式函數\(f(x) = {c_n}{x^n} + {c_{n - 1}}{x^{n - 1}} + \cdots + {c_1}x + {c_0}\)，定義域：\(( - \infty ,\infty )\)
2. 分式函數 \(f(x) = \frac{{P(x)}}{{Q(x)}}\)，定義域：\(\left\{ {\left. {x \in R\;} \right|\;Q(x) \ne 0} \right\}\)
3. 根式函\(f(x) = \sqrt {P(x)} \)，定義域：\(\left\{ {\left. {x \in R\;} \right|\;P(x) \ge 0} \right\}\)
4. 三角函數
(a) \(f(x) = \sin x\)，定義域：\(( - \infty ,\infty )\)
(b) \(f(x) = \cos x\)，定義域：\(( - \infty ,\infty )\)
(c) \(f(x) = \tan x\)，定義域：\(\left\{ {\left. {x \in R\;} \right|\;x \ne k\pi + \frac{\pi }{2},k \in Z} \right\}\)
(d) \(f(x) = \cot x\)，定義域：\(\left\{ {\left. {x \in R\;} \right|\;x \ne k\pi ,k \in Z} \right\}\)
(e) \(f(x) = \sec x\)，定義域：\(\left\{ {\left. {x \in R\;} \right|\;x \ne k\pi + \frac{\pi }{2},k \in Z} \right\}\)
(f) \(f(x) = \csc x\)，定義域：\(\left\{ {\left. {x \in R\;} \right|\;x \ne k\pi ,k \in Z} \right\}\)
5. 指數函\(f(x) = {a^x}(a > 0,a \ne 1)\)，定義域：\(( - \infty ,\infty )\)
6. 對數函數 \(f(x) = {\log _a}x(a > 0,a \ne 1)\)，定義域：\((0,\infty )\) |
| 合成函數之連續性 |
若 \(f(x)\) 在 \(b\) 點連續，且 \(\lim\limits_{x \to a} g(x) = b\)，則 \(\lim\limits_{x \to a} f(g(x)) = f(b)\)，以另一種表達方式。\[\lim\limits_{x \to a} f(g(x)) = f\left( {\lim\limits_{x \to a} g(x)} \right)\]這說明了只要這個 \(f\) 函數能夠符合 "
連續" 條件，外面的 limit 符號可以穿透函數 \(f\) 。 |
| 中間值定理 |
設 \(f(x)\) 為在閉區間 \([\;a\;,\;b\;]\) 之連續函數，設 \(L\) 為介於 \(f(a)\) 與 \(f(b)\) 之間的實數，
則至少有一個數字 \(c \in (\;a\;,\;b\;)\) 可使 \(f(c) = L\)。< |
| Bozano定理 |
又稱 "勘根定理" ，若 \(f(x)\) 為在閉區間 \([\;a\;,\;b\;]\) 之連續函數，
\(f(a)f(b) < 0\) ，表示 \(f(a)\) 與 \(f(b)\) 一正一負，則在 \((\;a\;,\;b\;)\) 區間中至少存在一個根。 |
| 定點定理 |
若 \(g(x):[\;a\;,\;b\;] \to [\;a\;,\;b\;]\) 為連續函則 \(g(x)\) 在 \([\;a\;,\;b\;]\) 至少有一個固定點。
|
| Fixed Point Theorem |
若 \(g(x):[\;a\;,\;b\;] \to [\;a\;,\;b\;]\) 為連續函數， 則 \(g(x)\) 在 \([\;a\;,\;b\;]\) 至少有一個固定點。 |
| 固定點 |
若函數 \(g(x):[a,b] \to R，設 \alpha \) 為 \([a,b]\) 上的一點，若 \(g(\alpha ) = \alpha \)，我們就稱 \(\alpha \) 為固定點(fixed point)。
|
