| 關鍵字 |
說明 |
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| 極限嚴格的定義 |
若 \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = L\)，當 \(x\) 趨近 \(a\) 時，\(f(x)\) 趨近 \(L\)，
以數學式表示\(\forall \varepsilon > 0\) , \(\exists \;\delta \ge 0\) , 使得當 \(0 < \left| {x - a} \right| < \delta \) 時，得到 \(\left| {f(x) - L} \right| < \varepsilon \) 之結果。 |
| 極限的直接帶入法 |
1. \(\lim\limits_{x \to a} k = k\)
2. \(\lim\limits_{x \to a} x = a\)
3. \(\lim\limits_{x \to a} k{\kern 1pt} f(x) = \mathop {k\lim }\limits_{x \to a} f(x)\)
4. \(\lim\limits_{x \to a} {\kern 1pt} \left[ {f(x) \pm g(x)} \right] = \lim\limits_{x \to a} f(x) + \lim\limits_{x \to a} g(x)\)
5. \(\lim\limits_{x \to a} {\kern 1pt} \left[ {f(x) \cdot g(x)} \right] = \lim\limits_{x \to a} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to a} g(x)\)
6. \(\lim\limits_{x \to a} {\kern 1pt} \left[ {\frac{{f(x)}}{{g(x)}}} \right] = \frac{{\lim \limits_{x \to a} f(x)}}{{\lim\limits_{x \to a} g(x)}}\) \(\left( {\lim\limits_{x \to a} g(x) \ne 0} \right)\) |
| 夾擠原理 |
假設 \(f(x)\) , \(g(x)\) , \(h(x)\) 三個函數定義於含 \(x = a\) 之開區間( \(x = a\) 不一定要有定義)，
若滿足 \(h(x) \le f(x) \le g(x)\) 且 \(\lim\limits_{x \to a} h(x) = \lim\limits_{x \to a} g(x) = L\) ，則 \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = L\) |
| 單邊極限 |
當 \(x\) 趨近 \(a\) 極限 \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) 時，我們應該要考慮兩個方向，
由 \(a\) 的右方向 \(a\) 靠近，記作 \(\lim\limits_{x \to {a^ + }} f(x)\) 稱為右極限，
反之，由 \(a\) 的左方向 \(a\) 靠近，記作 \(\lim\limits_{x \to {a^ - }} f(x)\) 稱為左極限，此兩種狀況稱為單邊 |
| 極限的存在性 |
若 \(\lim\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = \lim\limits_{x \to {a^ + }} f(x)\) 時，我們稱 \(\lim \limits_{x \to a} f(x)\) 存在，也就是左極限 \(= \) 右極限 |
