變數變換法一

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求不定積分\(\int {x{{({x^2} + 2)}^5}\;dx} \)？

詳解：若無法直接看出反微分答案，就須利用變數變換法

令\(u = {x^2} + 2\)，\(du = 2xdx\)

\(\int {x{{({x^2} + 2)}^5}\;dx} = \int {{{(u)}^5}\;xdx} \)

硬湊一個 2 到後面，以符合 \(du = 2xdx\) ，但也別忘記前面要補 \(\frac{1}{2}\)

\(\int {{{(u)}^5}\;xdx} = \frac{1}{2}\int {{{(u)}^5}\;2xdx} = \frac{1}{2}\int {{u^5}\;du} \)

根據多項式的積分法則

\(\frac{1}{2}\int {{u^5}\;du} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}{u^6} + C = \frac{1}{{12}}{({x^2} + 2)^6} + C\)