PART 12：例題-雪球融化問題

已知雪球融化的速率與雪球之表面積成比例，

(a)證明雪球之半徑縮減變化率為定數

(b)有一顆雪球經過一小時體積融化到原來的 \(\frac{8}{{27}}\) ，問這個雪球多少時間會全部融化

SOL:

(a) 設雪球半徑 ，雪球體積 \(V = \frac{4}{3}\pi {r^3}\) ，兩邊對對 \(t\) 微分，\(\frac{{dV}}{{dt}} = \frac{4}{3}\pi 3{r^2}\frac{{dr}}{{dt}}\)  

\(\frac{{dV}}{{dt}} = 4\pi {r^2}\frac{{dr}}{{dt}}\) ，依照題意，雪球融化的速率與雪球之表面積成比例，

也就是體積的變化 \(\frac{{dV}}{{dt}} = K \cdot 4\pi {r^2}\) ( \(K\) 為常數)，得到 \(\frac{{dr}}{{dt}} = \frac{1}{K}\) ，得證。

(b) 體積融化到原來的 \(\frac{8}{{27}}\) ，表示半徑縮到原來的\(\sqrt[3]{{\frac{8}{{27}}}} = \frac{2}{3}\) ，

由於雪球融化半徑的定速縮減，一小時融掉 \(\frac{1}{3}\) ，3小時應可全部融化。