PART 11：例題-引擎活塞問題

一引擎之曲柄6公分，曲柄以逆時針旋轉轉動帶動14公分的曲軸並牽動活塞左右移動，如圖7，
若以曲柄以每分1000轉的定速轉動(100 RPM)，當 \(\theta  = \frac{\pi }{3}\) 時，活塞移動的速率為多少?

SOL:

(1)建立模型 : 曲柄以1000圈/分的定速轉動，一圈 \(2\pi \) 弧度， 故\(\frac{{d\theta }}{{dt}} = 1000 \cdot (2\pi )\) \( = 2000\pi \) ，根據圖8，
利用餘弦定律 \({14^2} = {x^2} + {6^2} - 2 \cdot x \cdot 6 \cdot \cos \theta \)

(2)等號兩邊同時對 \(t\) 微分， \(0 = 2x\frac{{dx}}{{dt}} - 12 \cdot \frac{{dx}}{{dt}}\cos \theta  + 12x \cdot \sin \theta \frac{{d\theta }}{{dt}} \cdots (*)\)

(3)依照題目得條件， \(\frac{{d\theta }}{{dt}} = 2000\pi \) ， \(\theta  = \frac{\pi }{3}\) ，求 \(\frac{{dx}}{{dt}} = ?\)

在 \((*)\) 中有 \(x\) 需要先求出，再代餘弦定律 \({14^2} = {x^2} + {6^2} - 2 \cdot x \cdot 6\cos \theta \)  

\( \Rightarrow {14^2} = {x^2} + {6^2} - 6x\) \( \Rightarrow {x^2} - 6x - 160 = 0\)  

\( \Rightarrow (x - 16)(x + 10) = 0\) \( \Rightarrow x = 1 6\) 或 \(x =  - 10\) (不合 )

將已知所有條件代入 \((*)\) ， 得 \(0 = 32\frac{{dx}}{{dt}} - 6 \cdot \frac{{dx}}{{dt}} + 12 \cdot 16 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}\frac{{d\theta }}{{dt}}\) ，

整理 \(26\frac{{dx}}{{dt}} + 96\sqrt 3  \cdot 2000\pi  = 0\) ， \(\frac{{dx}}{{dt}} = \frac{{ - 96\sqrt 3  \cdot 2000\pi }}{{26}} \buildrel\textstyle.\over= 40181\) 公分/分鐘

【思考】
曲柄以固定速率每分鐘1000轉的速率轉動，活塞會以非固定速率移動，
當曲柄與活塞移動方向夾 \({60^ \circ }\) 時，活塞約以每分 \(40181\) 公分的高速率移動。