PART 10：例題-注水問題

一個表面為12公尺 \( \times \) 3公尺長方型，底為高3公尺等腰三角形之水槽， 如圖5，

若以每分鐘2立方公尺之等速率注水，當水深1公尺時，水面上升的速率為多少?

SOL:

(1)建立模型 : 假設水深 \(x\) 公尺，

根據圖6之相似三角形 \(\frac{{1.5}}{3} = \frac{b}{x}\) \( \Rightarrow b = \frac{x}{2}\) (三角形底之半)

三角形面積 = \(\frac{1}{2}\) 底 \( \cdot \) 高 = \(\frac{1}{2}x \cdot x = \frac{{{x^2}}}{2}\)

(2)兩邊同時對 \(t\) 微分， \(\frac{{dV}}{{dt}} = 12x\frac{{dx}}{{dt}}\)

(3)依照題目得條件， \(\frac{{dV}}{{dt}} = 2{{\rm{m}}^3}/\min \) ， \(x = 1{\rm{m}}\) ，求 \(\frac{{dx}}{{dt}} = ?\)

\(2 = 12\frac{{dx}}{{dt}}\)  \( \Rightarrow \frac{{dx}}{{dt}} = \frac{1}{6}{\rm{m}}/\min \)

【思考】
以固定速率每分鐘2立方公尺注水入槽，水上升高度的速率非固定，當水深為1公尺時，
水位以 \(\frac{1}{6} \buildrel\textstyle.\over= 0.17\) 公尺/分鐘的微小速率上升。