PART 13：例題-相對移動問題

在早上8點，B船位於A船西方120公里處，A船以每小時20公里的速度往北移動，

而B船以每小時25公里的速度往東移動，求早上10點時，兩船距離之瞬間變化率?

SOL:

(1)建立模型 : 假設經歷 \(t\) 小時後，  \(\overline {OB}  = 120 - 25t\) ， \(\overline {OA}  = 20t\) ，

\(A,B\) 船之距離 \(\overline {AB}  = D = \sqrt {{{\left( {120 - 25t} \right)}^2} + {{(20t)}^2}} \)

(2)兩邊同時對 \(t\) 微分，\(\frac{{dD}}{{dt}} = \frac{1}{2}\frac{1}{{\sqrt {{{\left( {120 - 25t} \right)}^2} + {{(20t)}^2}} }}\left[ {2\left( {120 - 25t} \right)( - 25) + 2(20t)20} \right]\)

(3)依照題目得條件，8點到10點表示 \(t = 2\) ，\(\frac{{dD}}{{dt}} = \frac{1}{2}\frac{1}{{\sqrt {{{\left( {70} \right)}^2} + {{(40)}^2}} }}\left[ {2(70)( - 25) + 2(40)20} \right] \)  

\(=\frac{1}{{20}}\frac{1}{{\sqrt {65} }}\left[ { - 3500 + 1600} \right] =  - \frac{{95}}{{\sqrt {65} }}\)

【思考】
\(A\) 船定速向北移動，\(B\) 船定速向東移動，兩船接近的速率並非固定，當兩小時後兩船距離之瞬間變化率為 \( - \frac{{95}}{{\sqrt {65} }} \buildrel\textstyle.\over=  - 11.79\) 表示兩船以每小時11.79之速率靠近，若 \(t\) 值較大， \(\frac{{dD}}{{dt}}\) 值變正，表示兩船在相互遠離。