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設 \(f(x) = Ta{n^{ - 1}}x\) ，則 \(f'(x) = \) ？

(A) \(Co{t^{ - 1}}x\)            (B)  \( - \frac{1}{{1 + {x^2}}}\)            (C)  \({\sec ^2}x\)            (D) \(\frac{1}{{1 + {x^2}}}\)

詳解：先建立恆等式

\(\tan (Ta{n^{ - 1}}x) = x\quad \)

等號兩邊微分

\( \Rightarrow \quad {\sec ^2}(Ta{n^{ - 1}}x) \cdot (Ta{n^{ - 1}}x)' = 1\)

設 \(Ta{n^{ - 1}}x{\rm{ = }}\theta \quad  \Rightarrow \tan \theta  = x\)

\(\quad  \Rightarrow \quad {\left[ {Tan(x)} \right]^\prime } = \frac{1}{{{{\sec }^2}\theta }}{\rm{ = co}}{{\rm{s}}^2}x = \frac{1}{{{\rm{1 + }}{x^2}}}\)

故選(D)

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