詳解：上述函數表達方式中 \(\left| {x - 2} \right| \ge 1\)，除去絕對值，分兩方面討論

(1) 當 \(x \ge 2\) 時，得 \(x - 2 \ge 1\) \( \Rightarrow \) \(x \ge 3\)

(2) 當 \(x \le 2\) 時，得 \( - \left( {x - 2} \right) \ge 1\) \( \Rightarrow \) \(x \le 1\)

原題可表達為 \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\quad x + 1\;\quad \;,\quad \;1 < x < 3}\\{{x^2} + ax + b\;,\quad otherwise}\end{array}} \right.\)，我們僅需考慮 \(x = 1\) 與 \(x = 3\) 之連續性

左極限 \(\lim\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \lim\limits_{x \to 1} ({x^2} + ax + b) = 1 + a + b\)

右極限 \(\lim\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \lim\limits_{x \to 1} (x + 1) = 2\)

在 \(x = 1\) 連續表示 \(2 = 1 + a + b\;\; \Rightarrow a + b = 1 \cdots  \cdots (1)\)

左極限 \(\lim\limits_{x \to {3^ - }} f(x) = \lim\limits_{x \to 3} (x + 1) = 4\)

右極限 \(\lim\limits_{x \to {3^ + }} f(x) = \lim\limits_{x \to 3} ({x^2} + ax + b) = 9 + 3a + b\)

在 \(x = 3\) 連續表示 \(4 = 9 + 3a + b\;\; \Rightarrow 3a + b =  - 5 \cdots  \cdots (2)\)

解(1)與(2)得 \(a =  - 3\;,\;b = 4\)