詳解：真數 \(x > 0\) ， 底 \(x \ne 1\)

\(1 + {\log _3}x + {\log _x}3 = 1 + {\log _3}x + \frac{1}{{{{\log }_3}x}}\)

令 \(\log _3x=k\) ，原式 \( = 1 + k + \frac{1}{k} = \frac{k}{k} + \frac{{{k^2}}}{k} + \frac{1}{k} = \frac{{{k^2} + k + 1}}{k}\)

\({k^2} + k + 1\)2 的判別式 \( = {1^2} - 4 =  - 3 < 0\) ， 表示 \({k^2} + k + 1\)恆正

故方程式 \(1 + {\log _3}x + {\log _x}3 = 0\) 沒有實根