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試以實例說明有理數不具有完備性意義?

詳解:有理數雖然密密麻麻充滿在實數線上,但仍然有許多 " 洞 " 無法填滿實數線,這些 " 洞 " 就叫作無理數,

我們知道有理數 + 有理數 = 有理數,這是非常顯而易見的,但這是在有限的條件下成立,

但在無限的情況就不一定囉,無窮級數 \(\frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{5^2}}} \cdots  \cdots  = \frac{{{\pi ^2}}}{6}\)

非常神奇吧!無限個有理數之和竟然成為無理數,說明有理數雖然具有稠密性卻不具有完備性。





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