PART 4：約化公式題型

雖然下列題型屬於三角函數積分範圍，但解題技巧是分部積分法

目的：求 \(\int {{{\sin }^n}x\;dx} \) 之不定積分

\(\int {{{\sin }^n}x\;dx}  = \int {{{\sin }^{n - 1}}\sin x\;dx} \) 

\( = \int {{{\sin }^{n - 1}}x\sin x\;dx} \)  \( = \int {{{\sin }^{n - 1}}xd( - \cos x)} \) 

\( =  - \cos x{\sin ^{n - 1}}x - \int {( - \cos x)d{{\sin }^{n - 1}}x} \)

\( =  - \cos x{\sin ^{n - 1}}x + (n - 1)\int {( - \cos x) \cdot {{\sin }^{n - 2}}x}  \cdot \cos xdx\)

\( =  - \cos x{\sin ^{n - 1}}x + (n - 1)\int {({{\cos }^2}x) \cdot {{\sin }^{n - 2}}x}  \cdot dx\)

\( =  - \cos x{\sin ^{n - 1}}x + (n - 1)\int {(1 - {{\sin }^2}x) \cdot {{\sin }^{n - 2}}x}  \cdot dx\)

\( =  - \cos x{\sin ^{n - 1}}x + (n - 1)\left[ {\int {({{\sin }^{n - 2}}x - {{\sin }^n}x)} dx} \right]\)

\( =  - \cos x{\sin ^{n - 1}}x + (n - 1)\int {{{\sin }^{n - 2}}xdx - (n - 1)\int {{{\sin }^n}x} } dx\)

\(n\int {{{\sin }^n}x\;dx}  =  - \cos x{\sin ^{n - 1}}x + (n - 1)\int {{{\sin }^{n - 2}}xdx} \)

\(\int {{{\sin }^n}x\;dx}  =  - \frac{1}{n}\cos x{\sin ^{n - 1}}x + \frac{{(n - 1)}}{n}\int {{{\sin }^{n - 2}}xdx} \)

這就是約化公式，由 \(\int {{{\sin }^n}x\;dx} \) 降至 \(\int {{{\sin }^{n - 2}}x\;dx} \) ，每使用一次公式降兩次，
我們可以反覆使用，將高次降至0次或1次來求不定積分。