PART 14：分式遷就分母原則

我們比較下列兩個分式函數的積分

\((a)\int {\frac{{x - 1}}{x}\;dx} \) 與 \((b)\int {\frac{x}{{x - 1}}\;dx} \)

\((a)\) 的解法非常容易，因為分母單純，我們可以拆成兩項分開積分

\(\int {\frac{{x - 1}}{x}\;dx}  = \int {\left( {\frac{x}{x} - \frac{1}{x}} \right)\;dx}  = \int {\left( {1 - \frac{1}{x}} \right)\;dx}  = x - \ln x + C\)

\((b)\) 的解法相對較不容易，因為分母有2項，我們可以仿造 \((a)\) 的解法，只是將 \(\left( {x - 1} \right)\) 綁起來，作法如下

\((b)\int {\frac{x}{{(x - 1)}}\;dx}  = \int {\frac{x}{{(x - 1)}}\;d(x - 1)}  = \int {\frac{{(x - 1) + 1}}{{(x - 1)}}\;d(x - 1)} \)  

\(= \int {[1 + \frac{1}{{(x - 1)}}]d(x - 1)} \) \( = (x - 1) + \ln (x - 1) + C\) ，同學若感覺太複雜可以令 \(u = (x - 1)\) 會較為清楚。