PART 4：變數變換法(一)(12：41)

當不定積分中被積分函數太過複雜，可以將被積分函數一部分設為 \(u\) ，當然 \(dx\) 也要依照微分規則轉換成 \(du\) ，將原來變數為 \(x\) 徹底換為 \(u\) ，將原來複雜題型簡化，最後再將 \(u\) 換為 \(x\)

例題:求不定積分 \(\int {{x^3}{{({x^4} + 2)}^{20}}dx} \)

SOL:

(1)檢視題目，若無法直接看出答案，準備令 \(u\) 以簡化題目

(2)令 \(u = {x^4} + 2\) ，則 \(\frac{{du}}{{dx}} = 4{x^3}\) ，也就是 \(du = 4{x^3}dx\) ，準備就緒後將原題目徹底改以 \(u\) 表示

(3)原式為 \(\int {{x^3}{{({x^4} + 2)}^{20}}dx} \) = \(\int {{x^3}{u^{20}}dx} \) = \(\int {{u^{20}} \cdot \frac{1}{4}} du\) \( = \frac{1}{4}\int {{u^{20}}} du\) \( = \frac{1}{{84}}{u^{21}} + C\) (成功解出答案)

(4)將 \(u\) 換為 \(x\) 解答才算真正完整， \(\int {{x^3}{{({x^4} + 2)}^{20}}dx}  \) \( =\frac{1}{{84}}{u^{21}} + C \) \( =\frac{1}{{84}}{\left( {{x^4} + 2} \right)^{21}} + C\)