PART 7：例題-氣球體積(04:59)

一空氣幫浦以每分鐘 4.5 立方英吋的速率將空氣注入一個球型氣球，如圖2，
當氣球半徑為 2 英吋時，半徑的變化率為？

SOL:

(1)建立模型: 氣球體積 \(V\) ，氣球半徑 \(r\) ，則 \(V = \frac{4}{3}\pi {r^3}\)

(2)兩邊同時對 \(t\) 微分， \(\frac{{dV}}{{dt}} = \frac{4}{3}\pi  \cdot 3{r^2}\frac{{dr}}{{dt}}\)

(3)依照題目得條件， \(\frac{{dV}}{{dt}} = 4.5\) ， \(r = 2\) ，

求 \(\frac{{dr}}{{dt}} = ?\) \(4.5 = \frac{4}{3}\pi  \cdot 3 \cdot 4\frac{{dr}}{{dt}}\)  \( \Rightarrow \frac{9}{{32\pi }} = \frac{{dr}}{{dt}}\)

【思考】
我們以每秒固定的空氣量注入氣球，氣球半徑的變化並非固定，以本例題數據來說
以\(4.5\;{\rm{f}}{{\rm{t}}^3}/\sec \) 的速率注空氣入氣球，當半徑為2時，半徑卻以 \(\frac{9}{{32\pi }} \buildrel\textstyle.\over= 0.09\) 的微小速率成長。