PART 6：例題-水波面積(04:37)

一個石頭投入一個水池中造成圓形漣漪水波，如圖1，若水波的半徑為 \(r\) ，

每秒增加率固定為1，請問當水波半徑為 \(4\) 時，總面積 \(A\) 將如何改變?

SOL:

(1)建立模型: 設水波面積 \(A\) ，半徑 \(r\) ， \(A = \pi {r^2}\)

(2)兩邊同時對 \(t\) 微分， \(\frac{{dA}}{{dt}} = \pi  \cdot 2r\frac{{dr}}{{dt}}\)

(3)依照題目得條件， \(\frac{{dr}}{{dt}} = 1\) ， \(r = 4\) ，求 \(\frac{{dA}}{{dt}} = ?\) \(\frac{{dA}}{{dt}} = \pi  \cdot 2 \cdot 4 \cdot 1 = 8\pi \)

【思考】
水波半徑為定速1增加，水波面積大小並不會以定速增大，以本題數據而言，
面積增長的速率很快，當 \(r = 4\) 時，面積增長的速率約以 \(8\pi  \buildrel\textstyle.\over= 25.12\) 的速率增大。