PART 15：例題-圓內接三角形

假設圓半徑為4，圓內接三角形如圖12，若要此三角形面積最大，
(1) 試以 \(h\) 表示三角形面積
(2) \(h = ?\) 使三角形面積最大

SOL：

\(\overline {OB}  = 4\) ，\(\overline {AB}  = 2\sqrt {16 - {h^2}} \) 為底，高為\(\left( {4 + h} \right)\)

(1)三角形 \(ABC\) 之面積 \(f(h) = \sqrt {16 - {h^2}}  \cdot (4 + h)\) ， \(0 \le h \le 4\)

(2) \(f'(h) = {\left( {16 - {h^2}} \right)^{ - 1/2}}( - h)(4 + h) + \sqrt {16 - {h^2}} \)

\( = {\left( {16 - {h^2}} \right)^{ - 1/2}}\left[ {( - h)(4 + h) + (16 - {h^2})} \right]\)

\( =  - 2{\left( {16 - {h^2}} \right)^{ - 1/2}}\left[ {{h^2} + 2h - 8} \right]\)

 \( =  - 2{\left( {16 - {h^2}} \right)^{ - 1/2}}(h - 2)(h + 4)\) ，

臨界值:  \(h=2\)， \(h=4\) (不合)， \(h=-4\) (不合)

當 \(h=2\) 時，可使三角形面積最大(正三角形)