PART 14：例題-經濟學求最大利潤

某家公司行銷部門研究出需求量 \(x\) 與單位價格 \(p\) 之關係為 \(p=\frac{50}{\sqrt{x}}\) ，
生產 \(x\) 單位產品之成本 \(C = 0.5x + 500\) ，試求能達到最大利潤的價格為多少?
在解題前應說明以下觀念：
(1) \(p=\frac{50}{\sqrt{x}}\) ，數量愈大，單位價格下降合理
(2) \(C=0.5x+500\) ，成本中的常數為固定成本(與 \(x\) 無關)如模具，與 \(x\) 有關如原料
(3) 並非單價提高就能增加利潤，因為 \(p\) 提高，需求量 \(x\) 會降低，產生最大利潤之 \(p\) 鑰不高不低，恰到好處，至於何謂不高不低就要藉助建模後之最佳化分析了
SOL：
\(P = R - C\) ，\(P = xp - C\) \(  \Rightarrow P = x\frac{{50}}{{\sqrt x }} - 0.5x - 500\)
\(P = 50\sqrt x  - 0.5x - 500\) 這就是本題之模型，
若要 \(P\) 最大，\(\frac{dP}{dx}=\frac{25}{\sqrt{x}}-0.5\) ，令 \(\frac{25}{\sqrt{x}}-0.5=0\) ，得到\(\sqrt{x}=50\) ， \(x = 2500\) ， \(p = \frac{{50}}{{\sqrt {2500} }} = 1\)