PART 12：例題-最省材料問題

假設一圓柱之體積為 \(54\pi \) ，此圓柱含上下蓋，若希望材料最省，底半徑與高各為多少?

SOL：

圓柱體積= \(\pi {r^2}h = 54\pi \) \(\quad \Rightarrow h={54}/{{{r}^{2}}}\;\) ，

材料為上下兩個圓與長為 \(2\pi r\) 寬 \(h\) 之長方形 材料= \(2\pi {r^2} + 2\pi rh\)  \( = 2\pi {r^2} + \frac{{108\pi }}{r}\) ，

材料函數 \(f(r) = 2\pi {r^2} + \frac{{108\pi }}{r}\;\;,\;\;r > 0\) ，\(f'(r) = 4\pi r - \frac{{108\pi }}{{{r^2}}}\)  \( = \frac{{4\pi {r^3} - 108\pi }}{{{r^2}}} = \frac{{4\pi ({r^3} - 27)}}{{{r^2}}}\) ，

臨界值 \(r = 3\) ， \(r = 0\) (不合)