PART 11：例題-摺紙問題2

假設一片長方形紙片，由左下角上折使之切齊上端(如下圖)
(1) 欲三角形B面積最小，則 \(x = ?\)

SOL：

假設\(\angle RTS=\theta \) ， \(\angle PTQ=\pi -2\theta \) ，則 \(\cos (\pi -2\theta )=\frac{a-x}{x}\) \(\Rightarrow \cos 2\theta =\frac{x-a}{x}\)

設 \(\overline {TR}  = z\) ， \(\cos \theta  = \frac{x}{z}\) ，依據倍角公式， \(\cos 2\theta  = 2{\cos ^2}\theta  - 1 = \frac{{x - a}}{x}\)

\( \Rightarrow \frac{{2{x^2}}}{{{z^2}}} - 1 = \frac{{x - a}}{x}\)， \( \Rightarrow {z^2} = \frac{{2{x^3}}}{{2x - a}}\) ，\(\overline {QR}  = \sqrt {{z^2} - {x^2}}  = \) \(\sqrt{\frac{a{{x}^{2}}}{2x-a}}=\frac{\sqrt{a}x}{\sqrt{2x-a}}\)

三角形B面積= \(f(x)=\frac{\sqrt{a}}{2}\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{2x-a}}\) ，\({f}'(x)=\frac{\sqrt{a}}{2}\left[ \frac{2x\sqrt{2x-a}-{{x}^{2}}{{\left( 2x-a \right)}^{{-1}/{2}\;}}}{2x-a} \right]\)

\({f}'(x)=\frac{\sqrt{a}{{\left( 2x-a \right)}^{{-1}/{2}\;}}}{2}\left[ \frac{2x\left( 2x-a \right)-{{x}^{2}}}{2x-a} \right]\) \(=\frac{\sqrt{a}{{\left( 2x-a \right)}^{{-1}/{2}\;}}}{2}\left[ \frac{x\left( 3x-2a \right)}{2x-a} \right]\)

臨界值 \(x=\frac{2a}{3}\) ，\(x=\frac{a}{2}\) (不合)， \(x=0\)(不合)