PART 8：例題-鐵皮體積

有一片邊長12公尺之正方形鐵皮，四角各截去一個小正方形，將四邊向上摺疊成為依個無蓋的盒子(如圖6)，
若希望此盒子容積最大，應該怎樣剪? 最大容積為多少?

SOL: 設剪去 \(x\) 公尺之正方形，圖形如下

(1)建立模型：設容積為 \(V(x)\) ，根據上圖可知 \(V(x) = \) \(x{\left( {12 - 2x} \right)^2}\)
(2)限制條件：\(x \in [0,6]\)
(3)找臨界值： \(V'(x) = \) \(1 \cdot {\left( {12 - 2x} \right)^2} + x \cdot 2\left( {12 - 2x} \right)( - 2)\)  \( = \left( {12 - 2x} \right)\left[ {12 - 2x - 4x} \right]\) \( = \left( {12 - 2x} \right)\left[ {12 - 6x} \right]\) ，臨界值 \(x = 6\)， \(x = 2\)
(4)檢視範圍： \(x = 6\) 與 \(x = 2\) 都可以接受
(5)比大小： \(V(6) = 0\) ， \(V(2) = 2 \cdot 64 = 128\) 公尺3(最大)， \(V(0) = 0\)
剪去邊長2公尺之小正方形，最大容積=128立方公尺