PART 4：例題-絕對極大與極小

設 \(f(x) = 2{x^3} - 3{x^2} - 36x + 1\) ，試求在閉區間 \([0\;,\;4]\) 之絕對極值

SOL:

(1)找出所有的臨界值

令 \(f'(x) = 6{x^2} - 6x - 36 = 0\) ，得 \({x^2} - x - 6 = 0\) ，

利用十字交乘分解因式 \((x - 3)(x + 2) = 0\) ，\(x = 3\) 與 \(x =  - 2\) 為臨界值。

(2)檢視範圍

\(x = 3\) 落在 \([0\;,\;4]\) ，但 \(x =  - 2\) 不在範圍應刪除

(3)比大小

有3個可能會發生絕對極值的位置 \(x = 3\) (臨)， \(x = 0\) (邊)， \(x = 4\) (邊)

\(f(3) = \)  \(2 \cdot 27 - 3 \cdot 9 - 36 \cdot 3 + 1 = 54 - 27 - 108 + 1 =  - 80\)

\(f(0) = 1\)

\(f(4) = \) \(2 \cdot 64 - 3 \cdot 16 - 36 \cdot 4 + 1 = 128 - 48 - 144 + 1 =  - 63\)

最大值為 \(f(0) = 1\)，最小值為 \(f(3) =  - 80\)