PART 6：指數函數之微分(04:08)

假設 \(f(x) = {a^x}\;\;(a > 0,\;a \ne 1)\;\)，我們想知道導函數 \(f'(x) = ?\;\)
要知道 \(f'(x) = ?\;\)就當然要從導函數的定義開始
\(f'(x) =
\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}}\;\)
\( = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{a^{x + \Delta x}} - {a^x}}}{{\Delta x}}\;\)
\( =\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{a^x}({a^{\Delta x}} - 1)}}{{\Delta x}}\;\)
\( = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{({a^{\Delta x}} - 1)}}{{\Delta x}}\;\)，
觀察計算結果可以發現 \({\left( {{a^x}} \right)^\prime } = {a^x} \cdot K\;\) ， \(K = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{({a^{\Delta x}} - 1)}}{{\Delta x}}\) ，
也就是指數函數的導函數 = 自己本身乘 \(K\) ，
這個結果讓我們想要研究怎樣的 \(a\) 可以造成， \(K = 1\) 呢?
現在先把極限放在一邊，我們希望 \(\frac{{({a^{\Delta x}} - 1)}}{{\Delta x}} = 1\) \( \Rightarrow ({a^{\Delta x}} - 1) = \Delta x\) \( \Rightarrow {a^{\Delta x}} = 1 + \Delta x\) ，
將 \(a\) 解出，得到 \(a = {\left( {1 + \Delta x} \right)^{\frac{1}{{\Delta x}}}}\) ，令 \(\frac{1}{{\Delta x}} = n\) ，
當 \(\Delta x \to 0\) 時相當於 \(n \to \infty \)
\(a = \lim\limits_{\Delta x \to 0} {\left( {1 + \Delta x} \right)^{\frac{1}{{\Delta x}}}} = \lim\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} = e\)
結論：以歐拉數 \(e\) 為底的指數函數稱為 "自然指數函數" ，其導函數為自己本身，即 \({\left( {{e^x}} \right)^\prime } = {e^x}\) ，
\({e^x}\) 讀 exponential function，也可以寫為 \(\exp (x)\)