PART 3：歐拉數收歛於2～3之間

歐拉數 \(e = 1 + 1 + \frac{1}{{2!}} + \frac{1}{{3!}} + \frac{1}{{4!}} + \cdots \) \( < 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} +  \cdots \)

　　　　 \( = 1 + \frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = 1 + 2 = 3\) ，

可以得知歐拉數 \(e\) 具有上界(Upper Bound)3，且考慮數列 \(\left\{ {{S_n}} \right\}_{n = 0}^\infty \) ，其中

\({S_0} = 1\) ，

\({S_1} = 1 + 1\) ，

\({S_2} = 1 + 1 + \frac{1}{{2!}}\) ，

\({S_2} = 1 + 1 + \frac{1}{{2!}} + \frac{1}{{3!}}\) ，

我們可以發現 \(\left\{ {{S_n}} \right\}_{n = 0}^\infty \) 為遞增數列且有上界。