PART 7：多項式的導函數(證明)(07:18)

多項式函數是最常見的函數之一，學習微積分從多項式函數開始著手最能達到學習的效果。

1.常數法則

任何數字的導函數均為 0，也就是若 \(f(x) = k\) ,  \(k\) 為常數，則 \(f'(x) = 0\) 。

證明:

依據導函數定義

\(f'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}}\)

　　　\( = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{k - k}}{{\Delta x}} = 0\)

以圖形說明:

2.冪次法則:

若 \(f(x) = {x^n}\) ,  \(n\) 為實數，則 \(f'(x) = n{x^{n - 1}}\)目前只證明 \(n\) 為整數的狀況

證明: \(f(x) = {x^n}\)

\(f'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{{(x + \Delta x)}^n} - {x^n}}}{{\Delta x}}\) ，以二項式定理展開

\( = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{x^n} + C_1^n{x^{n - 1}}\Delta x + C_2^n{x^{n - 2}}{{\left( {\Delta x} \right)}^2} +  \cdots  + {{\left( {\Delta x} \right)}^n} - {x^n}}}{{\Delta x}}\)

\(= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{n{x^{n - 1}}\Delta x + \frac{{n(n - 1)}}{2}{x^{n - 2}}{{\left( {\Delta x} \right)}^2} +  \cdots  + {{\left( {\Delta x} \right)}^n}}}{{\Delta x}}\)

\(= n{x^{n - 1}} + \lim\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {\frac{{n(n - 1)}}{2}{x^{n - 2}}\left( {\Delta x} \right) +  \cdots  + {{\left( {\Delta x} \right)}^{n - 1}}} \right]\)

\( = n{x^{n - 1}}\)