PART 13：綜合練習

找出 \(f(x) = x + \frac{1}{x}\) 所有的漸近線。

SOL：

(1)鉛直漸近線

\(\lim\limits_{x \to {0^ + }} \left( {x + \frac{1}{x}} \right) = \infty \) ， \(\lim\limits_{x \to {0^ - }} \left( {x + \frac{1}{x}} \right) =  - \infty \)

得知 \(x = 0\) 為鉛直漸近線。

(2)水平漸近線

\(\lim\limits_{x \to \infty } \left( {x + \frac{1}{x}} \right) = \infty \) ，\(\lim \limits_{x \to  - \infty } \left( {x + \frac{1}{x}} \right) =  - \infty \)

不為定值，沒有水平漸近線。

(3)斜漸近線

\(\lim \limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{f(x)}}{x}} \right) = \lim\limits_{x \to \infty } \left( {1 + \frac{1}{x}} \right) = 1\)，\(m = 1\)

\(\lim \limits_{x \to \infty } \left( {f(x) - x} \right) = \lim \limits_{x \to \infty } \left( {\frac{1}{x}} \right) = 0\) ， \(b = 0\)

故 \(y = x\) 為斜漸近線方程式

綜合上面結果，函數可描繪為圖12