詳解：(1)在 \(x \le 2\) 時， \(f(x) = {x^3}\) 為多項式函數，必連續

(2)在 \(x > 2\) 時， \(f(x) = a{x^2}\) 為多項式函數，必連續

(3)唯一可能有問題的位置是 \(x = 2\)，檢驗左極限是否等於右極限?

\(\lim\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \lim\limits_{x \to 2} {x^3} = 8\)

\(\lim\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \lim\limits_{x \to 2} (a{x^2}) = 4a\)

極限需存在， \(8 = 4a\quad  \Rightarrow \quad a = 2\)