詳解：(1)在 \(x \le 1\) 時， \(f(x) = 2x + k\) 為多項式函數，必連續

(2)在 \(x > 1\) 時， \(f(x) = {x^2}\) 為多項式函數，必連續

(3)唯一可能有問題的位置是 \(x = 1\)，檢驗左極限是否等於右極限?

\(\lim\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \lim\limits_{x \to {1^ - }} (2x + k) = 2 + k\)

\(\lim\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \lim\limits_{x \to 1} {x^2} = 1\)

\(2 + k = 1\quad\Rightarrow k =  - 1\)

如此才可肯定此函數在整個實數線上連續 故選(B)