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求極限 \(\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt n \sin \left( {{e^n}\pi } \right)}}{{n + 1}}\)(其中[  ]為高斯函數) 【97台大商研所】

詳解:\(\because \)\( - 1 \le \sin \left( {{e^n}\pi } \right) \le 1\) (三角函數定義)

\( \Rightarrow  - \frac{{\sqrt n }}{{n + 1}} \le \frac{{\sqrt n \sin \left( {{e^n}\pi } \right)}}{{n + 1}} \le \frac{{\sqrt n }}{{n + 1}}\)

\(\because \) \(\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt n }}{{n + 1}} = 0\)

根據夾擠原理 \(\therefore \)\(\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt n \sin \left( {{e^n}\pi } \right)}}{{n + 1}} = 0\)

 



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