PART 2：例題-無理數的證明(03:49)

試證明 \(\sqrt 2 \) 為無理數

證明:

設 \(\sqrt 2 \) 為有理數，則可假設 \(\sqrt 2  = \frac{b}{a}\) ， \(a,b \in Z\) ，\(a,b\) 互質且 \(a \ne 0\) ，

等號兩邊平方， \(2 = \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}\; \Rightarrow \;\;{b^2} = 2{a^2}\; \Rightarrow \;b\) 為偶數，既然 \(\;b\) 為偶數，設 \(\;b = 2k\) ，

則 \(\;{(2k)^2} = 2{a^2}\;\)  \( \Rightarrow \;\;4{k^2} = 2{a^2}\)  \( \Rightarrow \;\;{a^2} = 2{k^2}\)  \( \Rightarrow \;a\) 為偶數，

與原假設 \(a,b\) 互質產生矛盾，故 \(\sqrt 2 \) 不能以 \(\frac{b}{a}\) 表達，故 \(\sqrt 2 \) 為無理數