PART 17:雙曲函數的基本數性質

雙曲函數與三角函數有許多類似的地方,下表內容可以依照定義容易證明,
為何要取名雙曲函數呢?因為以三角函數為例,
考慮參數式 \(x = \cos t\;,\;\;y = \sin t\) 在平面形成一個圓,
而參數式 \(x = \cosh t\;,\;\;y = \sinh t\) 在平面形成雙曲線。

圖3.  \((x\;,\;y) = \)  \((\cos t\;,\;\sin t)\)圖

圖4.  \((x\;,\;y) = \)  \((\cosh t\;,\;\sinh t)\)圖

\(x = \cos t\;,\;\;\;\;y = \sin t \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 1\)
\(x = \cosh t\;,\;\;y = \sinh t \Rightarrow {x^2} - {y^2} = 1\)
下表是雙曲函數與三角函數的比較,是不是非常類似?

雙曲函數 三角函數
\({\cosh ^2}x - {\sinh ^2}x = 1\) \({\cos ^2}x + {\sin ^2}x = 1\)
\(\sinh ( - x) =  - \sinh x\) \(\sin ( - x) =  - \sin x\)
\(\cosh ( - x) = \cosh x\) \(\cos ( - x) = \cos x\)
\(\tanh ( - x) =  - \tanh x\) \(\tan ( - x) =  - \tan x\)
\(\sinh (\alpha  + \beta ) = \sinh \alpha \cosh \beta  + \cosh \alpha \sinh \beta \) \(\sin (\alpha  + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta  + \cos \alpha \sin \beta \)
\(\cosh (\alpha  + \beta ) = \cosh \alpha \cosh \beta  + \sinh \alpha \sinh \beta \) \(\cosh (\alpha  + \beta ) = \cos \alpha \cos \beta  - \sin \alpha \sin \beta \)