PART 25：例題-綜合除法(求不定積分)

\(\int {\frac{{3{x^3} - 4{x^2} + 5}}{{{{(x - 2)}^5}}}dx} \)

SOL：

(1)以綜合除法將分子的 \(x\) 改成 \((x - 2)\) 表示

\(3{x^3} - 4{x^2} + 5\) \( = 3{(x - 2)^3} + 14{(x - 2)^2} + 20(x - 2) + 13\)

(2)拆開原式積分成為4項

\(\int {\frac{{3{x^3} - 4{x^2} + 5}}{{{{(x - 2)}^5}}}dx} \) \( = \int {\frac{{3{{(x - 2)}^3} + 14{{(x - 2)}^2} + 20(x - 2) + 13}}{{{{(x - 2)}^5}}}dx} \)

\( = \int {\frac{{3{{(x - 2)}^3}}}{{{{(x - 2)}^5}}}dx} \) + \(\int {\frac{{14{{(x - 2)}^2}}}{{{{(x - 2)}^5}}}dx} \) + \(\int {\frac{{20(x - 2)}}{{{{(x - 2)}^5}}}dx} \) + \(\int {\frac{{13}}{{{{(x - 2)}^5}}}dx} \)

\(= \int {\frac{3}{{{{(x - 2)}^2}}}dx} \) + \(\int {\frac{{14}}{{{{(x - 2)}^3}}}dx} \) + \(\int {\frac{{20}}{{{{(x - 2)}^4}}}dx} \) + \(\int {\frac{{13}}{{{{(x - 2)}^5}}}dx} \)

\( =  - 3{(x - 2)^{ - 1}}\) + \(\frac{{14}}{{ - 2}}{(x - 2)^{ - 2}}\) + \(\frac{{20}}{{ - 3}}{(x - 2)^{ - 3}}\) + \(\frac{{13}}{{ - 4}}{(x - 2)^{ - 4}}\) \(+ C\)

\( = \frac{{ - 3}}{{x - 2}}\) + \( - \frac{7}{{{{(x - 2)}^2}}}\) + \( - \frac{{20}}{{3{{(x - 2)}^3}}}\) + \( - \frac{{13}}{{4{{(x - 2)}^4}}}\) \( + C\)