PART 15：例題-不定型 \(\infty  - \infty \)

求極限 \(\lim\limits_{x \to 0} \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{\sin x}}} \right)\)

SOL :

代 \(x = 0\) 入極限得 \(\infty  - \infty \) ，確認為不定型，

準備通分 \(\lim\limits_{x \to 0} \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{\sin x}}} \right)\) \( = \lim\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x - x}}{{x\sin x}}\) ，代 \(x = 0\) 入極限得 \(\frac{0}{0}\) ，

準備使用羅必達法則 \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x - x}}{{x\sin x}}\) \(\ \overset{L}{\mathop{=}}\,\ \) \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x - 1}}{{\sin x + x\cos x}}\) ，

代 \(x = 0\) 入極限得 \(\frac{0}{0}\) ，再次使用羅必達法則

\(\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x - 1}}{{\sin x + x\cos x}}\)\(\ \overset{L}{\mathop{=}}\,\ \) \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{{ - \sin x}}{{\cos x + \cos x - x\sin x}}\) 代 \(x = 0\) 入極限得 \(\frac{0}{{1 + 1 + 0}}\) \( = 0\)