PART 13：例題-不定型 \({1^\infty }\)

求極限 \(\lim\limits_{x \to 0} {(\cos x)^{{\textstyle{1 \over x}}}}\)

SOL :

代 \(x = 0\) 入極限得 \({1^\infty }\) ，確認為不定型，
\(\lim\limits_{x \to 0} {(\cos x)^{{\textstyle{1 \over x}}}}\)  \( = \lim\limits_{x \to 0} {e^{\ln {{(\cos x)}^{{\textstyle{1 \over x}}}}}}\) ，再利用對數律，

\(\lim\limits_{x \to 0} {e^{\ln {{(\cos x)}^{{\textstyle{1 \over x}}}}}}\)  \( = \lim\limits_{x \to 0} {e^{\frac{{\ln (\cos x)}}{x}}}\)  \( = {e^{ \lim\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (\cos x)}}{x}}}\)，觀察指數部分之極限，

代 \(x = 0\) 入極限得 \(\frac{0}{0}\)，還是不定型，

準備使用羅必達 \({e^{\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (\cos x)}}{x}}}\) \(\ \overset{L}{\mathop{=}}\,\ \) \({e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - \sin x}}{{\cos x}}}}\) \( = {e^0} = 1\)