補充教材

\(\frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{5^2}}} +  \cdots = \frac{{{\pi ^2}}}{6}\)

上面算式稱為 \(n = 2\) 之 P 級數，為收斂函數，但這個結果令人吃驚，

無窮個有理數之總和竟成為無理數，在此以簡單計算(一般都以傅立葉級數展開式證明)

我們知道 \(y = \cos x\) 之馬克勞林級數展開式為

\(\cos x = 1 - \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^4}}}{{4!}} - \frac{{{x^6}}}{{6!}} +  \cdots  \cdots \)

現在考慮一個多項式 \(P(x) = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + {a_3}{x^3} +  \cdots  \cdots  + {a_n}{x^n}\) ，若有 \(n\) 個根

為\({\beta _1},{\beta _2},{\beta _3},{\beta _4}, \cdots  \cdots ,{\beta _n}\)，則 \(P(x) = ({\beta _1} - x)({\beta _2} - x)({\beta _3} - x) \cdots  \cdots ({\beta _n} - x)\)

依照根與係數之關係，

\({a_0} = {\beta _1} \cdot {\beta _2} \cdot {\beta _3} \cdot {\beta _4} \cdot  \cdots  \cdots  \cdot {\beta _n}\)

\( - {a_1} = {\beta _2} \cdot {\beta _3} \cdot {\beta _4} \cdot  \cdots {\beta _n} + {\beta _1} \cdot {\beta _3} \cdot {\beta _4} \cdot  \cdots {\beta _n} + {\beta _1} \cdot {\beta _2} \cdot {\beta _4} \cdot  \cdots {\beta _n} +  \cdots  \cdots  + {\beta _1} \cdot {\beta _2} \cdot {\beta _3} \cdot  \cdots {\beta _{n - 1}}\)

相除得到所有根倒數之和
\( - \frac{{{a_1}}}{{{a_0}}} = \frac{1}{{{\beta _1}}} + \frac{1}{{{\beta _2}}} + \frac{1}{{{\beta _3}}} \cdots  \cdots  + \frac{1}{{{\beta _n}}}\quad \quad \quad (*)\)

的根有無限個，為 \( \pm \frac{\pi }{2}, \pm \frac{{3\pi }}{2}, \pm \frac{{5\pi }}{2}, \pm \frac{{7\pi }}{2}, \cdots  \cdots  \)，那麼

\(\cos \sqrt x  = 0\) 的根也是無限個，為 \(\frac{{{\pi ^2}}}{4},\frac{{9{\pi ^2}}}{4},\frac{{25{\pi ^2}}}{4},\frac{{49{\pi ^2}}}{4}, \cdots  \cdots \)，馬克勞林級數展開

\(\cos \sqrt x  = 1 - \frac{x}{{2!}} + \frac{{{x^2}}}{{4!}} - \frac{{{x^3}}}{{6!}} +  \cdots  \cdots \)之\({a_0} = 1\)，\({a_1} =  - \frac{1}{2}\)，代入\((*)\)

\(\frac{1}{2} = \frac{4}{{{\pi ^2}}} + \frac{4}{{{3^3}{\pi ^2}}} + \frac{4}{{{5^2}{\pi ^2}}} + \frac{4}{{{7^2}{\pi ^2}}} +  \cdots  \cdots  \cdots  \cdots \quad \quad \quad \)

\(\frac{{{\pi ^2}}}{8} = \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + \frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{7^2}}} +  \cdots  \cdots  \cdots  \cdots \quad \quad \quad \)

假設

\(K = \frac{1}{{{1^2}}} + \left( {\frac{1}{{{2^2}}}} \right) + \frac{1}{{{3^3}}} + \left( {\frac{1}{{{4^2}}}} \right) + \frac{1}{{{5^2}}} + \left( {\frac{1}{{{6^2}}}} \right) + \frac{1}{{{7^2}}} +  \cdots  \cdots  \cdots  \cdots \quad \quad \quad \)

\( \Rightarrow K = \frac{{{\pi ^2}}}{8} + \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{{1^2}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{2^2}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{3^2}}}} \right) +  \cdots  \cdots  \cdots  \cdots  = \frac{{{\pi ^2}}}{8} + \left( {\frac{1}{{{2^2}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{4^2}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{6^2}}}} \right) +  \cdots  \cdots  \cdots  \cdots  \)