PART 19：馬克勞林級數

在 \(x = 0\) 展開之泰勒展開式稱為馬克勞林級數，也就是泰勒展開式的特例，

有時將超越函數在 \(x = 0\) 展開可以得到很方便的無窮級數，因為以下函數均為無限可微分函數

\({e^x} = 1 + \frac{x}{{1!}} + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^3}}}{{3!}} + \frac{{{x^4}}}{{4!}} +  \cdots  + \frac{{{x^n}}}{{n!}} +  \cdots \)  \( = \sum\limits_{n = 0}^\infty  {\frac{{{x^n}}}{{n!}}} \)

\(\sin x = \frac{x}{{1!}} - \frac{{{x^3}}}{{3!}} + \frac{{{x^5}}}{{5!}} +  \cdots  + {( - 1)^{^n}}\frac{{{x^{2n + 1}}}}{{2n + 1!}} +  \cdots  = \sum\limits_{n = 0}^\infty  {{{( - 1)}^{^n}}\frac{{{x^{2n + 1}}}}{{2n + 1!}}} \)

\(\cos x = 1 - \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^4}}}{{4!}} - \frac{{{x^6}}}{{6!}} +  \cdots  + {( - 1)^{^n}}\frac{{{x^{2n}}}}{{2n!}} +  \cdots  = \sum\limits_{n = 0}^\infty  {{{( - 1)}^{^n}}\frac{{{x^{2n}}}}{{2n!}}} \)

\(\ln (x + 1) = 1 + \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^5}}}{5} +  \cdots  + \frac{{{x^n}}}{n} +  \cdots  = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{x^n}}}{n}} \) ， \(\left| x \right| < 1\)

\({\tan ^{ - 1}}x = x - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^5}}}{5} +  \cdots  + {( - 1)^{^n}}\frac{{{x^{2n + 1}}}}{{2n + 1}} +  \cdots  = \sum\limits_{n = 0}^\infty  {{{( - 1)}^{^n}}\frac{{{x^{2n + 1}}}}{{2n + 1}}} \) ， \(\left| x \right| < 1\)