補充教材

海倫公式的證明

在PART17直接列出了方便計算三角形面積的海倫公式，這個公式是怎麼來的呢？

海倫公式的證明有很多種方式，這裡採用淺顯易懂的餘弦定律證法(代數證法)

\(\Delta ABC\)之面積為 \(\sqrt {s(s - a)(s - b)(s - c)} \) ，

其中 \(s = (a + b + c)/2\) 這個公式在知道三角形的邊長時很好用，在此以中規中矩的方式證明

餘弦定律 \(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\) ，三角函數的恆等式 \(\sin C = \sqrt {1 - {{\cos }^2}C} \)

\(\sin C = \sqrt {(1 - \cos C)(1 + \cos C)}  = \sqrt {(1 - \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}})(1 + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}})} \)

\( = \sqrt {(\frac{{{c^2} - {{(a - b)}^2}}}{{2ab}})(\frac{{{{(a + b)}^2} - {c^2}}}{{2ab}})}  = \frac{{\sqrt {(c + a - b)(c - a + b)(a + b - c)(a + b + c)} }}{{2ab}}\)

\( = \frac{{\sqrt {(2s - 2b)(2s - 2a)(2s - 2c)2s} }}{{2ab}} = \frac{{2\sqrt {(s - b)(s - a)(s - c)s} }}{{ab}}\)

\(\sin C = \frac{{2\sqrt {(s - b)(s - a)(s - c)s} }}{{ab}}\quad  \Rightarrow \frac{1}{2}ab\sin C = \sqrt {(s - b)(s - a)(s - c)s} \)