PART 12：正弦定律(03:49)

設 \(\vartriangle ABC\) 之外接圓半徑為 \(R\) ，
\(\angle A\) 之對邊為 \(a\) ，
\(\angle B\) 之對邊為 \(b\) ，
\(\angle C\) 之對邊為 \(c\) ，
則\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)

\(\Delta  = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B\) ，全部同乘2
\(2\Delta  = ab\sin C = bc\sin A = ac\sin B\) ，全部同除 \(abc\)
\(\frac{{2\Delta }}{{abc}} = \frac{{\sin C}}{c} = \frac{{\sin A}}{a} = \frac{{\sin B}}{b}\) ，又過 \(C\) 穿過圓心交弧於 \(A'\)，
連接 \(\overline {A'B} \) ，則 \(\angle A = \angle A'\) (等弧對等角)， \(\angle A'BC = {90^ \circ }\) (半圓含直角)

\(\because \sin {A}'=\sin A=\frac{a}{2R}\)可以得到 \(R = \frac{{abc}}{{4\Delta }}\)