對數微分法

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Let \(y = f\left( x \right)\) satisfy \({x^3} + 2xy + {y^3} = 13\) Find \(y'\)at the point \(x = 1,y = 2\) 【台大數學系102年度期中考】

詳解：等號兩邊同時微分

\(3{x^2} + 2y + 2xy' + 3{y^2}y' = 0 \Rightarrow 2xy' + 3{y^2}y' = - 3{x^2} - 2y \Rightarrow (2x + 3{y^2})y' = - 3{x^2} - 2y\)

\(y' = \frac{{ - 3{x^2} - 2y}}{{2x + 3{y^2}}}\)

\(\left( {x,y} \right) = \left( {1,2} \right)\)， \(y' = \frac{{ - 3 - 4}}{{2 + 12}} = - \frac{1}{2}\)