PART 11：例題-反函數的微分法二(05:10)

設 \(f(x) = \frac{x}{{x + 1}}\;,x > 0\) 為一對一函數，求 \({\left( {{f^{ - 1}}} \right)^\prime }\left( {1/3} \right)\)

SOL:

利用反函數的微分 \({\left[ {{f^{ - 1}}(x)} \right]^\prime } = \frac{1}{{f'({f^{ - 1}}(x))}}\)

(1) \({\left[ {{f^{ - 1}}(1/3)} \right]^\prime } = \frac{1}{{f'({f^{ - 1}}(1/3))}}\) ，

(2) 比較麻煩的是 \({f^{ - 1}}(\frac{1}{3}) = ?\) 這個意思是找出 \(x\) 之值，

使 \(f(x) = \frac{x}{{x + 1}}\; = \frac{1}{3}\) ，解出 \(x = \frac{1}{2}\)

(3)  \(f'(x) = \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}\)

(4)  \(f'(\frac{1}{2}) = \frac{1}{{{{(\frac{1}{2} + 1)}^2}}} = \frac{4}{9} \Rightarrow {\left[ {{f^{ - 1}}(\frac{1}{3})} \right]^\prime } = \frac{1}{{\frac{4}{9}}} = \frac{9}{4}\)

此兩種方法在本題答案一樣，但建議法二的技巧一定要會，

因為不是每個反函數都可以直接找到。