PART 7：例題-法線方程式 【94台大財金所】

The equation of the normal line to the curve

\({x^2} + {y^2} = {(2{x^2} + 2{y^2} - x)^2}\)at  \((\;0\;,\;\frac{1}{2}\;)\) is____

解析:這一題要求的是法線方程式，先求出切線斜率 \(m\) ，

法線斜率就是與之垂直的 \( - \frac{1}{m}\)

SOL:

等號兩邊同時微分 \(2x + 2yy' = 2(2{x^2} + 2{y^2} - x)(4x + 4yy' - 1)\) ，

令 \(x = 0\;,\;\)  \(y = \frac{1}{2}\;,\;\)  \(y' = m\) ，

得到 \(m = 2(2 \cdot \frac{1}{4})(2m - 1)\)  \( \Rightarrow m = 2m - 1\)  \( \Rightarrow m = 1\)

法線斜率= \( - 1\) ，法線方程式 \(y - \frac{1}{2} =  - \left( {x - 0} \right)\) ， \(x + y = \frac{1}{2}\)