補充教材

自然指數函數之展開

根據歐拉數的定義， \(e = \lim \limits_{n \to \infty } {(1 + \frac{1}{n})^n}\) ，我們可以證明自然指數函數 \({e^x} = \lim \limits_{n \to \infty } {(1 + \frac{x}{n})^n}\)

首先考慮 \({(1 + \frac{x}{n})^n}\) ，使用二項式定理展開

\({(1 + \frac{x}{n})^n} = C_0^n{\left( {\frac{x}{n}} \right)^0} + C_1^n{\left( {\frac{x}{n}} \right)^1} + C_2^n{\left( {\frac{x}{n}} \right)^2} +  \cdots  + C_n^n{\left( {\frac{x}{n}} \right)^n}\)

\({(1 + \frac{x}{n})^n} = 1 + \frac{{n!}}{{(n - 1)!}}{\left( {\frac{x}{n}} \right)^1} + \frac{{n!}}{{(n - 2)!2!}}{\left( {\frac{x}{n}} \right)^2} + \frac{{n!}}{{(n - 3)!3!}}{\left( {\frac{x}{n}} \right)^3} \cdots  \cdots  + \frac{{n!}}{{n!0!}}{\left( {\frac{x}{n}} \right)^n}\)

整理得

\({(1 + \frac{x}{n})^n} = 1 + n{\left( {\frac{x}{n}} \right)^1} + \frac{{n(n - 1)}}{{2!}}{\left( {\frac{x}{n}} \right)^2} + \frac{{n(n - 1)(n - 2)}}{{3!}}{\left( {\frac{x}{n}} \right)^3} \cdots  \cdots  + {\left( {\frac{x}{n}} \right)^n}\)

當 \(n \to \infty \) 時

\(\lim \limits_{n \to \infty } {(1 + \frac{x}{n})^n} = 1 + \frac{x}{1} + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^3}}}{{3!}} + \frac{{{x^4}}}{{4!}} \cdots  \cdots \)

即自然指數函數 \({e^x}\) 之多項式展開式，同學也可至 14 單元印證這個結果。