PART 12:反餘切函數的微分

定理11

\(f(x) = {\rm{Co}}{{\rm{t}}^{ - 1}}x,\) ,則 \(f'(x) = \frac{{ - 1}}{{1 + {x^2}}}\quad \)

證明

\({\rm{(Co}}{{\rm{t}}^{ - 1}}x)' = {\left[ {Ta{n^{ - 1}}\left( {1/x} \right)} \right]^\prime }\) ,使用連鎖律

\({\rm{(Co}}{{\rm{t}}^{ - 1}}x)' = \frac{1}{{1 + {{\left( {1/x} \right)}^2}}}{\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime }\)  \( = \frac{{ - 1}}{{\left[ {1 + {{\left( {1/x} \right)}^2}} \right]{x^2}}}\)

\({\rm{(Co}}{{\rm{t}}^{ - 1}}x)' = \frac{{ - 1}}{{1 + {x^2}}}\)