PART 4：判斷函數不連續的各種狀況

判斷下面函數在何處不連續，並說明其理由：
(a) \(f(x) = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x - 1}}\)

ans: 因為 \(f(1)\) 沒有定義，故 \(f(x)\) 在 \(x = 1\) 不連續。

(b) \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{{x^2}}}\;\;\;\;if\;x \ne 0}\\{\;\;1\;\;\quad if\;x = 0}\end{array}} \right.\)

ans: 因為極限 \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{{{x^2}}}\) 不存在，故 \(f(x)\) 在 \(x = 0\) 不連續。

(c) \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x - 1}}\;\;\;\;if\;x \ne 1}\\{\;\quad \;\,\,2\;\;\quad\quad if\;x = 1}\end{array}} \right.\)

ans: 因為極限值 \(\lim\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x - 1}} =\lim\limits_{x \to 1} (x + 3) = 4\)，函數值 \(f(1) = 2\) ，兩者不相等，故 \(f(x)\) 在 \(x = 1\) 不連續。

(d) \(f(x) = \left[ {\,x\,} \right]\)，\(\left[ {\,x\,} \right]\) 表高斯函數。

ans: 高斯函數在所有整數均不連續，

例如在 \(x = 2\) ，右極限 \(\lim\limits_{x \to {2^ + }} \left[ x \right] = 2\) ，左極限 \(\lim\limits_{x \to {2^ - }} \left[ x \right] = 1\)。

綜合以上結果，判斷函數是否連續的問題須注意的事項
(a) 分式函數要注意令分母為 0 之數是否有定義。
(b) 函數分段定義時要注意極限值是否存在，並要等於函數值。
(c) 高斯函數又稱階梯函數，是標準的不連續函數範例。