PART 8：例題-梯子側滑

一長10m的梯子靠在牆上，如下圖所示，若將梯底以0.2m/sec的速度拉離牆壁，試求梯底和牆腳相距6m時，梯子的上端沿牆壁下滑的速率速率。

SOL:

(1)建立模型 : 取牆腳為原點座標，如上圖所示 \({x^2} + {y^2} = 100\) ， \(y = \sqrt {100 - {x^2}} \)

(2)兩邊同時對 \(t\) 微分， \(\frac{{dy}}{{dt}} = \frac{1}{2}\frac{{ - 2x}}{{\sqrt {100 - {x^2}} }}\frac{{dx}}{{dt}}\)

(3)依照題目得條件， \(\frac{{dx}}{{dt}} = 0.2{\rm{m}}/\sec \) ， \(x = 3\) ，求 \(\frac{{dy}}{{dt}} = ?\)

\(\frac{{dy}}{{dt}} = \frac{1}{2}\frac{{ - 2 \cdot 6}}{{\sqrt {100 - {6^2}} }}\frac{{dx}}{{dt}}\)  \( \Rightarrow \frac{{dy}}{{dt}} = \frac{{ - 6}}{8}\left( {0.2} \right) =  - \frac{3}{{20}}{\rm{m}}/\sec \)

梯子的上端以 \( - \frac{3}{{20}}{\rm{m}}/\sec \) 下滑(這裡負號表示向下)

【思考】
梯子下緣以固定速率側滑，梯子上緣下滑速率並非固定，以本例題數據來說梯子下緣以 \(0.2\;{\rm{m}}/\sec \) 的速率向右側滑，當梯子下緣距牆角6m時，梯子上緣以 \( - \frac{3}{{20}}{\rm{m}}/\sec  \buildrel\textstyle.\over= 0.15{\rm{m}}/\sec \) 的較小速率下滑。