PART 8：反正弦函數的微分(04:21)

定理9
\(f(x) = {\rm{Si}}{{\rm{n}}^{ - 1}}x,\)，則 \(f'(x) = \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }},\quad x \in ( - 1\;,\;1)\)
證明
\({\rm{sin(Si}}{{\rm{n}}^{ - 1}}x) = x\)，微分
\(\cos {\rm{(Si}}{{\rm{n}}^{ - 1}}x) \cdot {\rm{(Si}}{{\rm{n}}^{ - 1}}x)' = 1\) ，令 \({\rm{Si}}{{\rm{n}}^{ - 1}}x = \theta
\Rightarrow \sin \theta  = x\)，如下圖

\(\cos {\rm{(}}\theta ) \cdot {\rm{(Si}}{{\rm{n}}^{ - 1}}x)' = 1\)，\(  \Rightarrow {\rm{(Si}}{{\rm{n}}^{ - 1}}x)' = \frac{1}{{\cos \theta }} = \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\)